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【第1篇 初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
I.定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=a_^2+b_+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為_的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(_-_?)(_-_ ?) [僅限于與_軸有交點(diǎn)A(_? ，0)和 B(_?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線 _ = -b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在_軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與_軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(_= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_^2+b_+c，
當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程(以下稱方程)，即a_^2+b_+c=0
此時(shí)，函數(shù)圖像與_軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2 +k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸：
當(dāng)h>0時(shí)，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，
當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.
當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2 +k的圖象;
當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線 y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線_=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)_ ≤ -b/2a時(shí)，y隨_的增大而減小;當(dāng)_ ≥ -b/2a時(shí)，y隨_的增大而增大.若a<0，當(dāng)_ ≤ -b/2a時(shí)，y隨_的增大而增大;當(dāng)_ ≥ -b/2a時(shí)，y隨_的增大而減小.
4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與_軸交于兩點(diǎn)A(_?，0)和B(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|_?-_?|
當(dāng)△=0.圖象與_軸只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)△<0.圖象與_軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在_軸的上方，_為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0;當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在_軸的下方，_為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.
5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)_= -b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知_、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與_軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).
【第2篇 高中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
高中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是必要的，為了幫助大家更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，下面是高中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，歡迎查閱！
一、二次函數(shù)概念：
1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).
2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：
⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2.
⑵ 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng).
二、二次函數(shù)的基本形式
1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：
a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。
的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)
向上軸時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，有最小值.
向下軸時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，有最大值.
2. 的性質(zhì)：
上加下減。
的`符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)
向上軸時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，有最小值.
向下軸時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，有最大值.
3. 的性質(zhì)：
左加右減。
的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)
向上_=h時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，有最小值.
向下_=h時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，有最大值.
4. 的性質(zhì)：
的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)
向上_=h時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，有最小值.
向下_=h時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，有最大值.
三、二次函數(shù)圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規(guī)律
在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移;值正上移，負(fù)下移”.
概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.
方法二：
⑴沿軸平移:向上(下)平移個(gè)單位，變成
(或)
⑵沿軸平移：向左(右)平移個(gè)單位，變成(或)
四、二次函數(shù)與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中.
五、二次函數(shù)圖象的畫法
五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，(若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).
畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).
六、二次函數(shù)的性質(zhì)
1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小;當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大;當(dāng)時(shí)，有最小值.
【第3篇 高一數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
高一數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
i.定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=a_^2+b_+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>;0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下，iai還可以決定開口大小，iai越大開口就越小，iai越小開口就越大.)
則稱y為_的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
ii.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)p(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點(diǎn)a(_?，0)和b(_?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a_?，_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線
_=-b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)p。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p，坐標(biāo)為
p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，p在y軸上;當(dāng)δ=b^2-4ac=0時(shí)，p在_軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>;0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。
a越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>;0)，對(duì)稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
δ=b^2-4ac>;0時(shí)，拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與_軸沒(méi)有交點(diǎn)。_的取值是虛數(shù)(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)
v.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_^2+b_+c，
當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程(以下稱方程)，
即a_^2+b_+c=0
此時(shí)，函數(shù)圖像與_軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：
解析式
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對(duì)稱軸
y=a_^2
(0，0)
_=0
y=a(_-h)^2
(h，0)
_=h
y=a(_-h)^2+k
(h，k)
_=h
y=a_^2+b_+c
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
_=-b/2a
當(dāng)h>;0時(shí)，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，
當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)h個(gè)單位得到.
當(dāng)h>;0，k>;0時(shí)，將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h>;0，k<0時(shí)，將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0，k>;0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0，k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>;0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線_=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，當(dāng)_≤-b/2a時(shí)，y隨_的增大而減小;當(dāng)_≥-b/2a時(shí)，y隨_的增大而增大.若a<0，當(dāng)_≤-b/2a時(shí)，y隨_的.增大而增大;當(dāng)_≥-b/2a時(shí)，y隨_的增大而減小.
4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>;0，圖象與_軸交于兩點(diǎn)a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1，_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ab=_?-_?
當(dāng)△=0.圖象與_軸只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)△<0.圖象與_軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)a>;0時(shí)，圖象落在_軸的上方，_為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>;0;當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在_軸的下方，_為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.
5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，則當(dāng)_=-b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知_、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與_軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).
【第4篇 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
二次函數(shù)及其圖像
二次函數(shù)(quadraticfunction)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(_)=a_^2b_c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。
一般的，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：
一般式
y=a_∧2;b_c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);
頂點(diǎn)式
y=a(_m)∧2k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(_-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m，k)對(duì)稱軸為_=-m，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=a_∧2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式;
交點(diǎn)式
y=a(_-_1)(_-_2)[僅限于與_軸有交點(diǎn)a(_1，0)和b(_2，0)的拋物線];
重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>;0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。a的絕對(duì)值還可以決定開口大小,a的絕對(duì)值越大開口就越小,a的絕對(duì)值越小開口就越大。
牛頓插值公式(已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式)
y=(y3(_-_1)(_-_2))/((_3-_1)(_3-_2)(y2(_-_1)(_-_3))/((_2-_1)(_2-_3)(y1(_-_2)(_-_3))/((_1-_2)(_1-_3)。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y1/(_1__2)(y1為截距)
求根公式
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
_是自變量，y是_的二次函數(shù)
_1,_2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法還有因式分解法和配方法
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2_的平方的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。
不同的二次函數(shù)圖像
如果所畫圖形準(zhǔn)確無(wú)誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。
2畫出對(duì)稱軸，并注明_=什么
3與_軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線的性質(zhì)
軸對(duì)稱
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線_=-b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)p。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線_=0)
頂點(diǎn)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p，坐標(biāo)為p(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，p在y軸上;當(dāng)δ=b^2;-4ac=0時(shí)，p在_軸上。
開口
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>;0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
決定對(duì)稱軸位置的'因素
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>;0)，對(duì)稱軸在y軸左;因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號(hào)
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0，也就是-b 2a=''>;0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)
可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>;0)，對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。
事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值?？赏ㄟ^(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
決定拋物線與y軸交點(diǎn)的因素
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
6.拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
δ=b^2-4ac>;0時(shí)，拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與_軸沒(méi)有交點(diǎn)。_的取值是虛數(shù)(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)
當(dāng)a>;0時(shí)，函數(shù)在_=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{_|_<-b/2a}上是減函數(shù)，在
{_|_>;-b/2a}上是增函數(shù);拋物線的開口向上;函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=a_^2c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①當(dāng)_=1時(shí)y=abc
②當(dāng)_=-1時(shí)y=a-bc
③當(dāng)_=2時(shí)y=4a2bc
④當(dāng)_=-2時(shí)y=4a-2bc
【第5篇 二次函數(shù)知識(shí)總結(jié)
二次函數(shù)知識(shí)總結(jié)
一、定義與定義表達(dá)式一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=a_2+b_+c(a0)，則稱y為_的二次函數(shù)。
二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：
y=a_2+b_+c(a0)頂點(diǎn)式：y=a(_-h)2+k(a0)，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為p(h，k)交點(diǎn)式：y=a(_-_1)(_-_2)(a0)僅用于函數(shù)圖像與_軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，_1、_2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(_1，0)和b(_2，0))，對(duì)稱軸所在的直線為_=注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-，k=;_1,_2=;_1+_2=-
三、二次函數(shù)的圖像從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對(duì)稱圖形。
四、拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線_=-，對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)p。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p，坐標(biāo)為p(-，)。當(dāng)_=-時(shí)，y最值=，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y有最小值;當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y有最大值。當(dāng)-=0時(shí)，p在y軸上(即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0);當(dāng)=b2-4ac=0時(shí)，p在_軸上(即函數(shù)與_軸只有一個(gè)交點(diǎn))。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小(即形狀)。當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上;當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小。對(duì)于兩個(gè)拋物線，若形狀相同，開口方向相同，則a相等;若形狀相同，開口方向相反，則a互為相反數(shù)。
4.二次項(xiàng)系數(shù)a和一次項(xiàng)系數(shù)b共同決定對(duì)稱軸的位置，四字口訣為“左同右異”，即：當(dāng)對(duì)稱軸在y軸左邊時(shí)，a與b同號(hào)(即ab當(dāng)對(duì)稱軸在y軸右邊時(shí)，a與b異號(hào)(即ab0)。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置，拋物線與y軸交于點(diǎn)(0，c)。
6.拋物線y=a_2+b_+c(a0)與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程a_2+b_+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0時(shí)，拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不相同的.實(shí)數(shù)根;=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根。=b2-4ac0時(shí)，拋物線與_軸沒(méi)有交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
五、二次函數(shù)與一元二次方程
二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_2+b_+c(a0)，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程，即a_2+b_+c=0，此時(shí)，函數(shù)圖像與_軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。(參考四-6)
六、常用的計(jì)算方法
1、求解析式的時(shí)候：若給定三個(gè)普通點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)為一般式y(tǒng)=a_2+b_+c(a0)，分別將三點(diǎn)坐標(biāo)代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式;若給定有頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(_-h)2+k(a0)，再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的頂點(diǎn)式即可求出解析式;若給定有與_軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(_-_1)(_-_2)(a0)，再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的交點(diǎn)式即可求出解析式。以上方法特別要注意括號(hào)內(nèi)的正負(fù)號(hào)。
2、若求函數(shù)與_軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo);
3、若求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用配方的方法或者直接套用頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式;
4、若求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同頂點(diǎn)坐標(biāo))。
5、當(dāng)需要判定函數(shù)y=a_2+b_+c(a0)與_軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，需判定方程a_2+b_+c=0的lt;0，同理，與_軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，=0，與_軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，gt;0。對(duì)的判定方法仍然是用配方的方法。
【第6篇 初中奧數(shù)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、二次函數(shù)概念：
1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).
2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：
⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的次數(shù)是2.
⑵ 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng).
二、二次函數(shù)的基本形式
1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：
a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。
的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)
向上軸時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，有最小值.
向下軸時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，有值.
2. 的性質(zhì)：
上加下減。
的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)
向上軸時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，有最小值.
向下軸時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，有值.
3. 的性質(zhì)：
左加右減。
的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)
向上_=h時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，有最小值.
向下_=h時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，有值.
4. 的性質(zhì)：
的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)
向上_=h時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，有最小值.
向下_=h時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，有值.
三、二次函數(shù)圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規(guī)律
在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移;值正上移，負(fù)下移”.
概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.
方法二：
⑴沿軸平移:向上(下)平移個(gè)單位，變成
(或)
⑵沿軸平移：向左(右)平移個(gè)單位，變成(或)
四、二次函數(shù)與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中.
五、二次函數(shù)圖象的畫法
五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，(若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).
畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).
六、二次函數(shù)的性質(zhì)
1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小;當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大;當(dāng)時(shí)，有最小值.
【第7篇 中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語(yǔ)有一個(gè)現(xiàn)象是普遍存在的，就是“學(xué)的越多感覺(jué)不會(huì)的越多，背的越多忘的越快”，這個(gè)問(wèn)題困擾著很多考研黨。很多時(shí)候死記硬背并不是的方法，需要找到正確的思路，靈活記憶。為同學(xué)們提供中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，希望能對(duì)大家有所幫助。
i.定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=a_^2+b_+c
（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>;0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.）則稱y為_的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
ii.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=a_^2+b_+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）
頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)p（h，k）]
交點(diǎn)式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點(diǎn)a（_?，0）和b（_?，0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線_=-b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)p。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線_=0）
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p，坐標(biāo)為：p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，p在y軸上；當(dāng)δ=b^2-4ac=0時(shí)，p在_軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
δ=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線與_軸沒(méi)有交點(diǎn)。
_的取值是虛數(shù)（_=-b±√b^2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）
v.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=a_^2+b_+c，
當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程（以下稱方程），即a_^2+b_+c=0
此時(shí)，函數(shù)圖像與_軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：
當(dāng)h>;0時(shí)，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，
當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到．
當(dāng)h>;0,k>;0時(shí)，將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h>;0,k<0時(shí)，將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h<0,k>;0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>;0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線_=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，當(dāng)_≤-b/2a時(shí)，y隨_的增大而減小；當(dāng)_≥-b/2a時(shí)，y隨_的增大而增大．若a<0，當(dāng)_≤-b/2a時(shí)，y隨_的增大而增大；當(dāng)_≥-b/2a時(shí)，y隨_的增大而減小．
4．拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>;0，圖象與_軸交于兩點(diǎn)a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離ab=|_?-_?|
當(dāng)△=0．圖象與_軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)△<0．圖象與_軸沒(méi)有交點(diǎn)．當(dāng)a>;0時(shí)，圖象落在_軸的上方，_為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>;0；當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在_軸的下方，_為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0．
5．拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，則當(dāng)_=-b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知_、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0)．
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k(a≠0)．
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與_軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)．
